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        20周年學術成果集

        學術論文選登 | 思維導圖在初中數學幾何概念教學中的有效性研究

        作者:leiling發表時間:2020-10-21 閱讀次數:6042


        梁薇  成都嘉祥外國語學校成華校區

         

        摘要數學幾何概念是發展學生邏輯論證、合情推理和空間想象力的前提。而現今的教學中,部分幾何概念課教學的模式較為單一,教師在教學過程中忽視了學生對幾何概念知識網絡的建構。針對此問題,本文設計了調查問卷,通過教學實踐中的具體案例,引入思維導圖這一可視化思維工具。從引入概念、理解概念、深化概念和構建知識網絡四個方面,對數學幾何概念的教學方法進行總結提煉,獲得了有效幾何概念教學的經驗。本文研究結果對培養學生數學思維能力,實現學生對數學知識的自我組織具有重要的促進作用。

        關鍵字:思維導圖;初中數學;幾何概念;課堂教學;有效性

         Abstract: The concept of mathematical geometry is the prerequisite for the development of students' logical argumentation, sensible reasoning and spatial imagination. In today's teaching, the teaching mode of some geometric concept classes is relatively simple, and the teachers neglect the students' construction of the geometric concept knowledge network in the teaching process. In response to this problem, this paper designed a questionnaire to introduce a visual thinking tool through mind mapping through specific cases in teaching practice. From the four aspects of introducing concepts, understanding concepts, deepening concepts and constructing knowledge networks, the teaching methods of mathematical geometric concepts were summarized and refined, and the experience of effective geometric concept teaching is obtained. The research results of this paper have an important role in cultivating students' mathematical thinking ability and realizing students' self-organization of mathematics knowledge.

        Keywords:  mind map; junior high school mathematics; geometric concept; classroom teaching; effectiveness

         

        一、引言

        數學概念是數學學習定理、法則、公式的基礎,也是數學思想方法的出發點和解決數學問題的前提。數學幾何概念更是發展邏輯論證、合情推理和空間想象力的前提。而現今的教學中,部分幾何概念課教學的模式顯得較為單一,教師在教學過程中重教而忽視了學生對幾何概念形成過程和知識的建構,重概念講授而忽視了學生的思維能力的培養。思維能力作為核心素養的核心能力,在新一輪的教育改革中備受關注。而八大思維圖示法、思維導圖、概念圖[1]成為有效促進數學思維能力的手段?,F實中,教師雖然嘗試運用思維可視化工具參與教學,但關于思維導圖如何在幾何概念教學中有效使用的相關研究很少。

        針對以上問題,本文通過設計調查問卷了解現實幾何概念教學中存在的現狀及問題,通過教學實踐中的案例,引入思維導圖這一可視化思維工具,從引入概念,理解概念,深化概念,構建知識網絡四個方面對數學幾何概念的教學方法進行總結提煉,從而獲得幾何概念有效教學的經驗。以培養學生數學思維能力,真正達到學生對數學知識的自我組織。

        二、初中數學幾何概念

        數學概念是反映事物在數量關系和空間形式屬性的抽象思維形式[2],是數學最基礎的表達形式。在小學階段,由于小學生思維的形象性,對于數學概念大都用一些描述性的語言來表述。而在初中階段對概念的描述更加準確,同時概念所覆蓋的內容要遠遠多于定義所表達的內容[3]。數學概念作為數學思想方法的出發點和解決數學問題的前提,有助于學生對定理、定義、公式、法則的理解,幫助形成數學的基礎知識體系,訓練數學基本技能,領悟數學中基本思想,積累基本數學活動經驗。同時也是培養學生數學抽象能力,邏輯推理能力,數學建模能力,直觀想象能力等核心素養的體現。其中,幾何概念作為數學概念的重要組成部分,除了具備數學概念相同的形式和結構外,還具有如下的特殊思維形式特征[4]

        1. 幾何概念往往來自現實世界中的直觀模型。如三角形、圓等。

        2. 幾何概念具備高度概括的特點。

        3. 幾何概念與相應的幾何表述語言、圖形和符號表達緊密相連,有獨特的符號語言體系。

        4. 圖形本身就具備概念性。如三角形的圖形就包含著三角形的概念“由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接而形成的平面圖形”及三角形三邊關系等信息。

        新課程標準的初中數學課程內容包括四大板塊:數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐[5]。其中圖形與幾何部分對發展學生的空間觀念和幾何直觀,培養學生的合情推理能力,積累幾何活動經驗起著重要的作用。同時,圖形與幾何在成都市中考試題中占35%40%,也有著重要的地位。對現階段的幾何概念教學現狀調查也有著實際的意義。

        三、數學幾何概念教學現狀分析

        (一)教師教學形式單一,重結果輕過程。現階段,數學教學仍然受到應試教育較大的影響。教學中,教師重教授而輕視學生知識習得的過程,重題目訓練而忽視思維的培養。教學的急功近利使幾何概念課的教學中常出現用課堂上20%的時間給出概念,80%的時間用于習題的訓練。忽視了學生幾何概念形成這一思維過程,學生并沒有深入理解概念。

        (二)學生對幾何概念課的不重視及對幾何概念教學的需求。在與學生的訪談中發現,部分學生對于幾何概念課的感受是總以冗長的文字出現,覺得只要會解題,概念是否掌握影響不大。學生在練習和測驗中也較少將錯因歸于數學概念的不清,常以粗心、馬虎蓋過問題的本質。由此可見,學生對于數學幾何概念課并未引起足夠的重視。另一方面,為了更好地了解學生對幾何概念課學習的情況,對我校8年級學生中隨機選取了105名學生進行了有關數學概念教學的問卷調查,調查問卷中的部分典型問題如表1所示。


        1. 關于數學概念的問卷調查表

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        通過問卷的調查結果分析,圖1反映出有40%的學生認為幾何概念一般重要,通過訪談,部分學生認為在幾何解題中對于概念的直接運用較少,幾何證明的思路更為重要。學生對幾何概念重視程度上的差異,在一定程度上降低了課堂教學的有效性。圖3的結果也進一步驗證了此問題,大部分同學并不能夠用準確的語言對于已學概念“三角形”進行描述,究其原因,還是對于幾何概念的理解上不夠深入。


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                                                    圖1. 幾何概念重要性調查結果                                                          圖2. 幾何概念學習系統感調查結果


        由圖2結果,反映出大多數學生并沒有建立幾何概念知識體系的意識,僅有7%的同學表示自己有建立知識網絡。也正由于知識結構的缺失,學生對幾何概念的內涵與外延都無法準確掌握。圖4結果顯示,學生中有63人表示幾何概念太抽象、易混淆、難以理解。而圖5結果顯示,學生更希望能夠在幾何概念的教學中構建起幾何概念的知識網絡結構、通過類比、


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        3. “三角形”概念表述調查結果


        從特殊到一般的歸納方式來探索和生成概念。調查的結果可以看出,直接給出概念的教學模式已經不適應現今的課堂,學生對于數學概念課有更多的期待和要求。在培養學生數學核心素養的大背景下,對概念課教學的有效性分析就顯得尤為重要了。

         

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                                 圖4. 評價幾何概念學習調查結果                                                                 5. 幾何概念教學方式效果調查結果


        四、幾何概念課教學的有效性分析

        課堂教學實質是教師在教學目標的指導下有計劃地實現學生有效學習的過程[6]。有效課堂的關鍵是學生的進步與發展。應關注在教學過程中,是否完成了教學目標,使得知識與技能,過程與方法,情感態度與價值觀,思維目標得以實現。是否使學生參與到了教學過程中,是否培養了學生的思維,使學生有進一步學習的興趣。通過以上分析,作為一堂有效的幾何概念課應該具有以下特征:

        1.設計明確清晰的教學目標;

        2.基于學生已有的知識和經驗背景設計教學過程;

        3.幾何概念形成過程中學生的實質性參與其中;

        4.學生能準確把握幾何概念的外延與內涵;

        5.學生能夠將幾何概念應用于實際問題;

        6.能夠培養學生的數學思維能力,形成核心素養。

           基于以上的特征,思維導圖的引入在數學幾何概念的教學中就有著實際意義。


        五、思維導圖應用于初中幾何概念教學的意義

        20世紀60年代英國心理學家東尼·博贊提出了思維導圖的概念[7]。而如今八大思維圖示、思維導圖和概念圖已成為中小學應用廣泛的思維可視化工具,如圖表2。初中是數學學習的重要階段,幾何學習中所涉及到的知識點繁多,靈活性大、綜合性很強。如何讓學生夯實基礎知識,深入理解概念,將學到的零散的、細碎的概念綜合起來,以達到對知識的有機整合,思維導圖就是實現這一目標的理想選擇。其作用可歸結為以下幾點:

        (一)有助于學生形成知識網絡 

        在數學教材的編排中,初中的幾何知識本身有邏輯關系、層次性及整體性。但在課堂教學中存在著一定的局限性,知識的邏輯性、層次性及整體性并沒有充分體現出來。而思維導圖以可視化、結構化的形式展現知識,以多色彩、層次分明的直觀形象將新舊知識聯系,將易混淆知識類比[8]。讓學生在學習過程中構建起幾何概念之間的內在邏輯關系,將新知識與原有認知結構相聯系,有助于學生全面掌握知識。


        2.八大思維圖示法、思維導圖、概念圖的作用及特點[1]

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        (二)有助于提高學生的思維能力

        思維導圖有助于培養學生的發散性思維品質。思維導圖的創作過程能增加學生在短時間內能連續地表達出的觀念和設想的數量;讓學生學會從不同角度、不同方向靈活地思考問題;激發出具有獨特解決問題的方法和別出新意的思路;能在頭腦中構想并描述事物的具體細節。利用思維導圖,學生能夠更系統地存儲、管理、應用知識,有條理地掌握各幾何概念之間的關系,促進學生邏輯思維品質的發展。

        (三)有利于學生創新思維的培養

        在幾何概念的教學中,教師可通過問題的引導充分給予學生自主探索的空間,創造出符合自己思維邏輯的知識結構圖。在此過程中,學生的想象力、自主探索能力、合作分享的能力都得到了鍛煉。學生學會突破原有的思維定勢,更開放性的思考問題,多角度的解決問題。因此,研究如何利用思維導圖構建有效的數學幾何概念課教學,對培養學生思維能力,提升教學質量有重要作用。

        六、思維導圖在初中數學幾何概念教學中的有效性研究

        (一)聯想回顧、引入概念

        概念課的引入是課堂教學的開端,也是形成概念的基礎。有效的概念引入,能夠迅速調動學生學習的積極性,進入到教學情境,幫助學生更好地接受和理解概念。

        1. 梳理知識,復習回顧

        通過樹形圖或括號圖對之前已學知識進行梳理。如學習《平行四邊形》這一課,學生在

        小學已經認識過平行四邊形,并對幾類特殊的四邊形都有一定的了解。因此,教師可以在學生已有的認知結構上設計引入。提出問題“在小學我們都認識過哪些四邊形?”,將學生回答的零散答案根據一定的分類標準進行分類。如圖6,將四邊形根據是否有一組對邊平行分為一般四邊形和特殊四邊形。再將特殊四邊分為平行四邊形和梯形,而平行四邊形下又包含長方形、正方形、菱形。通過圖文并茂的形式,完善學生之前的知識結構,也為后面學習特殊平行四邊形起到鋪墊的作用。


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        圖6. 四邊形分類樹形圖


        2. 充分聯想,激活思維

        運用圓圈圖,讓學生對所學內容展開充分聯想。如在學習《平行四邊形》這一課中,為引入平行四邊形的概念,讓學生對平行四邊形展開充分的聯想,盡可能多地寫出與平行四邊形相關的關鍵詞。如圖7,看似雜亂的詞語,卻能從中梳理出平行四邊形的定義(兩組對邊分別平行)、基本元素(邊、角、對角線)及性質(內角和為360°,沒有穩定性等),同時還將平行四邊形與我們的生活緊密聯系起來(筆記本、門窗等)。充分調動了學生的積極性,更是展現出了許多課本中沒有涉及到卻與之相關的內容,發展了學生的發散能力和創新能力。同時也展現了幾何概念的直觀性。當然,在此過程中,教師一定要引導學生對聯想到得關鍵詞進行逆向篩選,歸類總結。


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                        (a)                                               (b)

        7. 平行四邊形聯想圓圈圖


        (二)深入剖析、理解概念

        學生是否能夠清晰地理解概念,并運用概念解決實際問題,對概念的深入剖析和理解是非常重要的一個環節。理解概念的過程,也是培養學生辯證地思考問題的過程,更有助于培養思維的深刻性。概念的理解應該抓住概念的實質性特征,聯系符號、文字、圖形、關鍵條件等方面綜合的理解分析歸納。而思維導圖也正是將符號、文字、圖形融為一個整體的可視化工具,以幫助學生深層次的理解和掌握概念。如圖8,在《黃金分割》中講解概念后,剖析概念中線段之間的比例關系、比例中項關系、黃金比的具體值,而這三個關系均是由C是線段AB的黃金分割點得出,滲透轉化的思想,深入剖析了概念,抓注了概念的本質。


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        8. 黃金分割概念剖析思維導圖


        (三)類比理解、深化概念

        通過對北師大版初中數學教材的分析發現,屬加種差形式定義[9]是初中數學幾何概念的主要定義方式。用公式表示為:被定義項=種差+鄰近的屬。例如矩形的定義:有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。用公式表示為:矩形=有一個角是直角(種差)+平行四邊形(屬)。這樣的定義方式體現了幾何概念的層次性,體系性。需要學生在新舊數學概念之間建立起聯系,明確概念的內涵與外延,將已有認知結構中的數學概念與新概念進行區分,類比,整合成一個新的知識體系,達到概念的同化。而雙氣泡圖這種思維圖示工具可以有效地幫助學生將新舊概念進行對比,比較發現異同,從而發現和總結出概念所反映的規律與本質屬性。同時結合“數學思想”為催化劑,實現概念間的類比遷移[10]。

        如中心對稱與中心對稱圖形的概念,在教材中是一節課呈現的內容,不少學生都感覺概念中的文字信息量大且相似點多,不易準確把握概念。如圖9,我們將兩個概念進行類比分析,概念間的聯系與區別就顯得清楚明確了。


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        9. 中心對稱與中心對稱圖形雙氣泡圖


        同樣,在特殊平行四邊形這一章中,矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的性質定理及判定定理較多,且彼此之間存在區別和聯系,極易混淆,如果運用線性的筆記方式,學生不易記憶、理解和區分。下面以矩形和菱形的性質為例設計雙氣泡圖,如圖10。將矩形與菱形的相同性質放在中間,從邊、角、對角線三個方面對應描述不同性質,以達到對比理解的目的。


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        10. 中心對稱與中心對稱圖形雙氣泡圖


        (四)建構知識網絡、提升整體思維

        《數學課程標準解讀》指出:“數學教育的價值并非單純地通過積累數學事實來實現,它更多地通過對重要的數學思想方法的領悟,對數學活動經驗的條理化,對數學知識的自我組織等活動來實現?!?/span>[11]數學知識的自我組織,就是學生能夠主動將已學過的零散知識,根據自己的理解和認識,進行重新提煉,組織,構建知識網絡。學生在這個“再創造”的過程中,能主動探索思考數學概念性知識之間的內在聯系,形成整體性和個性化的認識。而思維導圖能夠直觀形象的呈現知識間的關聯,提高學生對數學概念性知識的分析重組能力,幫助學習者組織起適當的知識網絡結構,體現思維過程,提升思維能力。


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        11. 《平行四邊形》思維導圖


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        12. 《圓》思維導圖


        如圖11、圖12均是作為概念課的第一課時的教學內容以思維導圖的形式所呈現的知識結構,以《平行四邊形》為例,在教學內容中除了平行四邊形的定義外,還包括表示方法、相關概念、性質及應用的相關知識。通過思維導圖的呈現,本節課的教學內容以可視化的思維結構呈現在學生的面前,更有助于學生的理解掌握。當然,建構知識結構的思維導圖可以以一節課的內容來呈現,也可以按章節的方式來呈現。思維導圖的繪制過程可以以教師板書的形式呈現,但更為有效的是體現學生思維過程自主的繪制,以體現學生思維過程,達到個性化的發展。如圖13,是學生繪制的三角形章節知識網絡結構圖。


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        13. 《三角形》章節思維導圖


        七、結論

        數學幾何概念作為數學知識體系中的重要組成部分,是發展邏輯論證、合情推理和空間想象能力的前提[12],在數學教學中也占據著基礎性的地位。本文通過在教學實踐中的案例研究,引入思維導圖這一可視化思維工具,從引入概念,理解概念,深化概念,構建知識網絡四個方面對數學幾何概念的教學方法進行總結提煉,從而獲得幾何概念有效教學的經驗。以培養學生數學思維能力,真正達到學生對數學知識的自我組織。

         

        參考文獻:

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        附錄:

        初中數學幾何概念教學調查問卷

        親愛的同學:

        您好!這是一項關于初中數學幾何概念學習方面的調查問卷。旨在了解初中數學幾何概念教學及學習過程中的問題,以指導今后的數學幾何概念教學。此問卷不記名,不考慮對錯,請根據實際情況如實作答。感謝您的支持,謝謝!

        1、你覺得幾何概念難嗎?     (      )

        A.很難               B.難                 C.還好                 D.不難

        2、你認為學習幾何與學習代數方法有變化嗎?(    )

        A.有變化,覺得原方法不適用,試圖改進,但不知從何下手或沒效果

        B.有變化,改進了許多,學起來得心應手

        C.沒想過,我認為學得好壞與學習方法無關

        D.沒變化,照樣能應付

        3、你認為幾何概念對于初中幾何的學習重要嗎?(    )

        A.非常重要             B.比較重要            C.一般             D.不重要

        4、你認為學習幾何概念或定理最關注的應是(   )

        A.概念定理的產生形成和發展過程      B.如何記憶概念定理公式

        C.如何應用概念定理                  D.概念定理的幾何意義        E.其他

        5、數學考試中,在幾何概念相關題目方面的失分情況(  )

        A.很多                  B.較多               C.一般             D.很少

        6、你對數學幾何概念學習有系統感嗎?

        A.沒有,知識是零散的                     B.還好,通過做題訓練了一些   

        C.還好,老師會經??偨Y復習知識結構圖     D.有,有老師的幫助和自己建立的知識網絡結構

        7、你能夠用文字表述出“三角形”的概念嗎?(  )

        A.能準確表述        B.大體表述            C.基本上記不住      D.不知道     

        8、在幾何概念學習過程中,就你個人而言,你認為有效的學習方式是(   )

        .記憶解題法      B.公式法則套用     C.自主合作探究    D.講練結合

        9、(多選題)請你對初中學習的幾何概念作一個評價(    )

        .幾何概念太抽象、易混淆、太難理解

        .幾何概念太枯燥,太理論,無法勾起學習的欲望

        .幾何概念在現實生活中的實用性不強,純粹是為了應付考試才學的

        .通過學習幾何概念可培養數學邏輯推理能力、空間思維能力和幾何直觀體驗

        .幾何概念十分重要,它當中蘊涵著豐富的數學思想方法,為我們后面的幾何學習起到鋪墊作用      

        10、(多選題)在數學幾何概念教學中,你認為哪種方式效果好(    

        A.語言講訴給出概念    B.運用多媒體展示     C.比較類比        D.從特殊到一般歸納

        E.變式訓練方式        F.示錯法             G.構建知識網絡結構

         


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